标准误差差值与标准差标准误差差值是什么

艾丽游戏ing 2023-10-12 14:22 1

标准偏差和标准误差

标准偏差和标准误差如下：

标准误差差值与标准差标准误差差值是什么

标准偏差是在概率统计中最常使用，作为统计分布程度上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。

测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别，其公式如下所列。标准差的观念是由卡尔·皮尔逊引入到统计中。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，标准差各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

标准误差也称均方根误差，标准误差是指在抽样试验（或重复的等精度测量）中，常用到样本平均数的标准差。注意：标准差与标准误差，计算公式类似，但是是两个不同的概念。标准误差一般用来判定该组测量数据的可靠性，在数学上它的值等于测量值误差的平方和的平均值的平方根。

样本标准偏差的计算步骤是：

1、每个样本数据减去样本全部数据的平均值。

2、把步骤一所得的各个数值的平方相加。

3、把步骤二的结果除以（n - 1）（n指样本数目）。

4、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

标准差与标准误差有何不同？

x±s在统计学是均值加减标准差。由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

标准差、标准误差

标准差与标准误差都是数理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异程度，但是两者是有着较大的区别的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测。

而只能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行调查，然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本的结果，然后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。

标准差和标准误有何区别？

标准差和标准误的区别：

1、表示含义不同：

（1）标准差是指离均差平方的算术平均数的平方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

（2）标准误是样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是样本均数之间的变异。

2、反映情况不同：

（1）标准差在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statisticaldispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。

标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

（2）标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。

标准差和标准误的联系：标准误不是标准差，是多个样本平均数的标准差。标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根，故又称为均方根误差。

扩展资料

1、标准差意义：

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1），它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

2、离均差平方和：

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差）加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零的。

为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方和成了评价离散度一个指标。

参考资料来源

标准差和标准偏差是一回事吗?有什么区别?

标准误差其实就是标准差的一种，不过这两者的含义也是有着一定的区别的。

1、标准误差指的就是抽象实验或者是重复等精度测量当中经常使用到的样本平均数量的标准差，需要注意的是标准差和标准误差的计算公司一样，但是是两个截然不同的概念。标准误差是描述对应的样本统计量抽样分布的离散程度，以及衡量对应样本统计量的抽样误差大小的程度。

2、标准差又可以被称之为均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，标准差也是方差的算术平方根标准差，能够反映出一个数据集的离散程度，平均数相同的两组数据标准差也未必是相同的。

3、标准差在概率统计学当中也是经常使用的，标准差的定义也就是总体各单位交叉标准值和平均数离差平方的算术平均数的平方根，它反映出了组内个体间的离散程度的测量到了分补程度的结果。

4、希望各位朋友注意的是标准误差并不是测量值的实际误差也不是误差的分类，它只不过是对一组测量数据可靠性的估计，标准误差越小测量的可靠性也就越大一些，相反测量就不是特别的可靠进一步的分析也表明根据偶然误差的相关理论，当一组测量值的标准误差为贝塔的时候，那么其中的任何一个量值误差都很有可能会在这个区间之内。

拓展资料：

标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为

。参考资料：

标准差(Standard Deviation)

各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。

一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。

标准偏差公式：S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))

公式中∑代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。

所以它们是两回事！

标准差是标准偏差的简称，标准偏差分为总体标准偏差与样本标准偏差。总体标准偏差，是每个样本与平均值的差的平方之和的n分之一的算术平方根，样本标准偏差是每个样本与平均值的差的平方之和的（n-1）分之一的算术平方根（n为样本容量）。概括为差方均根。

“实验标准偏差”是通过有限次的测量计算得到的，当测量次数趋于无穷大时，“实验标准偏差”就趋向于包括测量者在内的整个测量系统的“标准偏差”。

实验标准偏差是有限次测量得出的，标准偏差是无限次测量得出的。就是现实和理想的区别。

@@@《注册计量师》里边是这么理解的

标准差和标准误差的区别

标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根,故又称为均方误差标准偏差反映的是个体观察值的变异,标准误反映的是样本均数之间的变异(即样本标准差和标准误差的区别

如果其他条件不变，总体标准差与允许误差之间存在下列关系：（）。

前者越低，后者也越低、前者越高，后者也越高

标准差和标准误差的区别

标准差与标准误（标准误差）的区别有：

1、意义不同：标准差是数据精密度的衡量指标。标准误差是量度结果精密度的指标。

2、反映的东西不同：标准差反映了整个样本对样本平均数的离散程度。标准误差反映样本平均数对总体平均数的变异程度。

3、使用范围不同：标准差一般用于表示一组样本变量的分散程度。标准误差一般用于统计推断中，主要包括假设检验和参数估计，如样本平均数的假设检验、参数的区间估计与点估计等。

参考资料：

一、表示不同：

标准差是方差的平方根，标准偏差不是平方根。

二、计算方法不同；

标准误差用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。

1,标准误差一般用来判定该组测量数据的可靠性，在数学上它的值等于测量值误差的平方和的平均值的平方根。

2,标准误差在正态分布中表现出正态分布曲线的陡峭程度，标准误差越小，曲线越陡峭，反之，曲线越平坦。

3,标准误差在实际的计算中使用的是标准误差估算值。

4,标准误差不是实际误差。

标准差，中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组组数据，标准差未必相同。

标准差：

标准差表示数据的离散程度，或者说数据的波动大小。标准误表示抽样误差的大小。

统计教材上一般都写标准误表示均数的抽样误差，这对于初学者很难理解。这里通过举例来说明含义。

比如，有一个学校，学校中共有1000名学生，则这1000名学生可以作为这个学校学生的总体。如果我想了解所有学生的身高，采用随机抽样，抽取了50人。这50人就是一个样本。这里需要注意：一个样本并不是指一个人，而是指一次抽样。一个样本可以是1个人，也可以是100人，这里的1和100就是样本大小。

从理论上讲，抽样误差表示这样的意思：即如果不止抽样一次，而是抽样10次，每次都50人，那么我就有10个均数和标准差。例如大圈套有十个小圈，大圈代表总体1000人，一个小圈代表一个样本，即50人。每个样本都能计算计算一个均数和标准差。

以这10个均数作为原始数据，仍然能计算出一个均数和标准差，以这10个均数计算出的标准差就称之为标准误。这是理论上的含义，实际的含义就代表抽样误差的大小，即抽取的样本代表性好不好，抽样误差越小，代表性越好，反之，代表性越差。

如果我对学校中的1000人都测量了身高，那理论上就没有标准误，也就是没有抽样误差了，因为我测量了总体，这时就不存在标准误了。但是标准差是存在的，因为这1000人的身高肯定不同，肯定会有波动。这里就充分表明了标准差和标准误的区别了。

1 标准差

标准差(S 或SD) ,是用来反映变异程度,当两组观察值

在单位相同、均数相近的情况下,标准差越大,说明观察值间

的变异程度越大。即观察值围绕均数的分布较离散,均数的

代表性较差。反之,标准差越小,表明观察值间的变异较小,

观察值围绕均数的分布较密集,均数的代表性较好。在医学

研究中,对于标准差的大小,原则上应该控制在均值的12 %

以内,如果标准差过大,将直接影响研究的准确性。

数理统计表明,在标准正态分布曲线下的面积是有规律

性的,根据这一规律,人们经常用均数加减标准差来计算样

本观察值数量的理论分布,并以此来鉴定样本的代表性。

即: x ±110 s 表示68127 %的观察值在此范围之内; x ±

1196 s 表示95 %的观察值在此范围内; x ±2158 s 表示

99 %的观察值在此范围内。

如果取得的样本资料的实际分布与理论分布非常接近,

证明该样本具有代表性。反之,则需要重新修正抽样方法或

样本含量。x ±1196 s 是确定正常值的方法,经常在工作中被

采用,也称为95 %正常值范围。

2 标准误

标准误( Sx 或S E ) ,是样本均数的抽样误差。在实际工

作中,我们无法直接了解研究对象的总体情况,经常采用随

机抽样的方法,取得所需要的指标,即样本指标。样本指标

与总体指标之间存在的差别,称为抽样误差,其大小通常用

均数的标准误来表示。

数理统计证明,标准误的大小与标准差成正比,而与样

本含量( n ) 的平分根成反比,即: Sx = S/ n 这就是标准误

的计算方法。

抽样研究的目的之一,是用样本指标来估计总体指标。

例如:用样本均数来估计总体均数。由于两者间存在抽样误

差,且不同的样本可能得到不同的估计值,因此,常用“区间

估计”的方法,来估计总体均数的范围。即: X ±1196 Sx 表

示总体均数的95 %可信区间; X ±2158 Sx 表示总体均数的

99 %可信区间。

95 %可信区间指的是:在X ±1196 Sx 范围中,包括总体

均数的可能性为95 % ,也就是说,在100 次抽样估计中,可能

有95 次正确(包括总体均数) ,有5 次错误(不包括总体均

数) 。99 %可信区间也是这个道理,只是包括的范围更大。

在实际工作中,由于抽取的样本较小,不呈标准正态分

布( u 分布) ,而遵从t 分布,所以常用t 值代替1196 或2158。

可在t 值表上查出不同自由度( n ′) 下、不同界值时的t 值。

可见到自由度越小, t 值越大,当自由度逐渐增大时, t 值也

逐渐接近1196 或2158 ,当n ′= ∞时, t 值就完全被其代替

了。所以,我们常用X ± t 0105 Sx 表示总体均数的95 %可

信区间,用x ± t 0101 Sx 表示总体均数的99 %可信区间。

综上所述,标准差与标准误尽管都是反映变异程度的指

标,但这是两个不同的统计学概念。标准差描述的是样本中

各观察值间的变异程度,而标准误表示每个样本均数间的变

异程度,描述样本均数的抽样误差,即样本均数与总体均数

的接近程度,也可以称为样本均数的标准差。二者不可混

淆。

由此可见,在众多的医刊上出现的x ±s 的表示方法是

错误的。原因就是混淆了二者的概念。当两样本均数进行

比较时,正确的用法应该是x ±t0105( n′) Sx 。

标准差和标准误都是变异指标,但它们之间有区别,也有联系.区别:①概念不同；标准差是描述观察值(个体值)之间的变异程度；标准误是描述样本均数的抽样误差；②用途不同；标准差常用于表示变量值对均数波动的大小,与均数结合估计参考值范围,计算变异系数,计算标准误等.标准误常用于表示样本统计量(样本均数,样本率)对总体参数(总体均数,总体率)的波动情况,用于估计参数的可信区间,进行假设检验等.③它们与样本含量的关系不同:当样本含量 n 足够大时,标准差趋向稳定；而标准误随n的增大而减小,甚至趋于0 .联系:标准差,标准误均为变异指标,如果把样本均数看作一个变量值,则样本均数的标准误可称为样本均数的标准差；当样本含量不变时,标准误与标准差成正比；两者均可与均数结合运用,但描述的内容各不相同.

标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根，故又称为均方误差。

标准偏差反映的是个体观察值的变异，标准误反映的是样本均数之间的变异（即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度），标准误不是标准差。

标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。

在相同测量条件下进行的测量称为等精度测量，例如在同样的条件下，用同一个游标卡尺测量铜棒的直径若干次，这就是等精度测量。对于等精度测量来说，还有一种更好的表示误差的方法，就是标准误差。

标准差是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，标准差能反映一个数据集的离散程度。

标准差与标准误都是心理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异程度，但是两者是有着较大的区别的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测，而只能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行调查，然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本的结果，然后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。

标准差（standard deviation, STD）

表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准差收到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个侧样测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。这在测验分数等值上有重要作用。

标准误（standard error, SE)

表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无多个样本，每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样本对总体数据的估计，标准误代表的就是样本均数与总体均数的相对误差。标准误是由样本的标准差除以样本人数的开平方来计算的。从这里可以看到，标准误更大的是受到样本人数的影响。样本人数越大，标准误越小，那么抽样误差就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表样本。

1 标准差

标准差(S 或SD) ,是用来反映变异程度,当两组观察值

在单位相同、均数相近的情况下,标准差越大,说明观察值间

的变异程度越大。即观察值围绕均数的分布较离散,均数的

代表性较差。反之,标准差越小,表明观察值间的变异较小,

观察值围绕均数的分布较密集,均数的代表性较好。在医学

研究中,对于标准差的大小,原则上应该控制在均值的12 %

以内,如果标准差过大,将直接影响研究的准确性。

数理统计表明,在标准正态分布曲线下的面积是有规律

性的,根据这一规律,人们经常用均数加减标准差来计算样

本观察值数量的理论分布,并以此来鉴定样本的代表性。

即: x ±110 s 表示68127 %的观察值在此范围之内; x ±

1196 s 表示95 %的观察值在此范围内; x ±2158 s 表示

99 %的观察值在此范围内。

如果取得的样本资料的实际分布与理论分布非常接近,

证明该样本具有代表性。反之,则需要重新修正抽样方法或

样本含量。x ±1196 s 是确定正常值的方法,经常在工作中被

采用,也称为95 %正常值范围。

2 标准误

标准误( Sx 或S E ) ,是样本均数的抽样误差。在实际工

作中,我们无法直接了解研究对象的总体情况,经常采用随

机抽样的方法,取得所需要的指标,即样本指标。样本指标

与总体指标之间存在的差别,称为抽样误差,其大小通常用

均数的标准误来表示。

数理统计证明,标准误的大小与标准差成正比,而与样

本含量( n ) 的平分根成反比,即: Sx = S/ n 这就是标准误

的计算方法。

抽样研究的目的之一,是用样本指标来估计总体指标。

例如:用样本均数来估计总体均数。由于两者间存在抽样误

差,且不同的样本可能得到不同的估计值,因此,常用“区间

估计”的方法,来估计总体均数的范围。即: X ±1196 Sx 表

示总体均数的95 %可信区间; X ±2158 Sx 表示总体均数的

99 %可信区间。

95 %可信区间指的是:在X ±1196 Sx 范围中,包括总体

均数的可能性为95 % ,也就是说,在100 次抽样估计中,可能

有95 次正确(包括总体均数) ,有5 次错误(不包括总体均

数) 。99 %可信区间也是这个道理,只是包括的范围更大。

在实际工作中,由于抽取的样本较小,不呈标准正态分

布( u 分布) ,而遵从t 分布,所以常用t 值代替1196 或2158。

可在t 值表上查出不同自由度( n ′) 下、不同界值时的t 值。

可见到自由度越小, t 值越大,当自由度逐渐增大时, t 值也

逐渐接近1196 或2158 ,当n ′= ∞时, t 值就完全被其代替

了。所以,我们常用X ± t 0105 Sx 表示总体均数的95 %可

信区间,用x ± t 0101 Sx 表示总体均数的99 %可信区间。

综上所述,标准差与标准误尽管都是反映变异程度的指

标,但这是两个不同的统计学概念。标准差描述的是样本中

各观察值间的变异程度,而标准误表示每个样本均数间的变

异程度,描述样本均数的抽样误差,即样本均数与总体均数

的接近程度,也可以称为样本均数的标准差。二者不可混

淆。

由此可见,在众多的医刊上出现的x ±s 的表示方法是

错误的。原因就是混淆了二者的概念。当两样本均数进行

比较时,正确的用法应该是x ±t0105( n′) Sx 。

标准差和标准误的区别与联系

小伙伴们知道什么是标准差与标准误吗?这两者有何关系?有何区别?下面就跟着我一起来看看吧。

标准差与标准误关系与区别

在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异，经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ，标准差为δ的正态分布，即X～N(μ, δ2),那么样本均值服从均值为0，标准差为δ2/n的正态分布，即?～ N(μ,δ2/n)。这里δ为标准差，δ/n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。

可是，实际使用中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离散程度;标准误是样本均值的标准差，衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中，习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度(标准误)越大，抽样误差就越大。所以用标准误来衡量抽样误差的大小。

在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30的一个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10个样本，每个样本30人，那么每个样本都可以计算出均值，这样就会有10个均值。也就是形成了一个10个数字的数列，然后计算这10个数字的标准差，此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取10个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。

在实际的应用中，标准差主要有两点作用，一是用来对样本进行标准化处理，即样本观察值减去样本均值，然后除以标准差，这样就变成了标准正态分布;而是通过标准差来确定异常值，常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差。标准误的作用主要是用来做区间估计，常用的估计区间是均值加减n倍的标准误。

标准偏差反映的是个体观察值的变异，标准误反映的是样本均数之间的变异(即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度)，标准误不是标准差，是样本平均数的标准差。标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。

标准误差定义

标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根，故又称为均方误差。

设n个测量值的误差为ε1、ε2……εn，则这组测量值的标准误差ζ等于：

(此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。)

由于被测量的真值是未知数，各测量值的误差也都不知道，因此不能按上式求得标准误差。测量时能够得到的是算术平均值()，它最接近真值(N)，而且也容易算出测量值和算术平均值之差，称为残差(记为v)。理论分析表明①可以用残差v表示有限次(n次)观测中的某一次测量结果的标准误差ζ，其计算公式为

(此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。)

对于一组等精度测量(n次测量)数据的算术平均值，其误差应该更小些。理论分析表明，它的算术平均值的标准误差。有的书中或计算器上用符号s表示)与一次测量值的标准误差ζ之间的关系是

(此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。)

标准误差

需要注意的是，标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性大一些，反之，测量就不大可靠。进一步的分析表明，根据偶然误差的高斯理论，当一组测量值的标准误差为ζ时，则其中的任何一个测量值的误差εi有68.3%的可能性是在(-ζ，+ζ)区间内。

世界上多数国家的物理实验和正式的科学实验报告都是用标准误差评价数据的，现在稍好一些的计算器都有计算标准误差的功能，因此，了解标准误差是必要的。