雷达信号处理基础-傅里叶变换
首先，思考一个问题， 关于傅里叶变换这个工具，有什么用？
离散傅里叶变换采样点n_离散傅里叶变换用来干啥
对于这个问题，在雷达中，我们一般得到的回波里面不仅仅有目标，还有大量的杂波和其他干扰，我们利用频域的表示将这些信号和干扰等等进行分离，而傅里叶变换就是把回波信号放在频域中的工具，除了对信号和干扰进行分离外，还有一些其他的目的，比如多普勒频移，成像等等。
连续变量信号的傅里叶变换主要涉及一些采样需求的分析，考虑一个一维连续信号，其在时域内表示为x(t)，其傅里叶变换为X(Ω)，
可以给出其逆变换为
其中，频域内变量Ω即为角频率，单位为rad/s,另外，如果我们之前考虑的信号不是时域中，而是放在空域进行考虑，那么此时的频域内变量Ω则为空间频率，若空间变量的单位为m,空间频率的单位就对应为rad/m。
一种是类似连续变量傅里叶变换的形式，考虑一维离散变量信号 ,它的傅里叶变换对可以表示为：
上面的式子中，ω是归一化的连续频率变量，它的单位是rad,归一化频率ω和常规的频率Ω之间的对应关系为：
其中Ts为采样间隔。上述的X(ω)即为x[n]的离散时间傅里叶变换(DTFT),可以发现，X(ω)在频率变量ω上是连续的，周期为2π rad,也就是说DTFT每2π rad重复一次。
虽然对于所有的ω，DTFT都是有定义的，但是我们通常只讨论它的主值周期，即-π≤ω<π。
但是，我们不可能对无限多的连续频率变量ω去求X(ω),这里定义了离散傅里叶变换(DFT)，只取有限长度的离散变量信号，比如，现在取了离散信号x[n]的N点，其DFT的变换对可以表示为：
可以发现，如果对离散信号x[n]做N点采样，得到的X[k]为N个均匀分布在其DTFT主值周期上的采样。
题图：Ignotus the Mage 来自网络
在离散傅里叶变换中引起频谱混叠和泄漏的原因?怎样减小这种现象?
1. 混叠效应
如果x(t)的频谱是带限的，X( f )=0, |f| > fm
则由抽样定理，抽样间隔满足
Ts=1/2fm
如果f(t)的频谱不是带限的，则抽样后频谱总要发生混叠
减小抽样间隔Ts，fs增大，可减小混叠，但工作量增加.
解决办法：预滤波，再抽样，一般选择Ts<1/(3~5)fm
2. 泄漏(leakage)
若X(f)为有限带宽频谱，则x(t)为时间无限的。为利用
FFT分析x(t)的频谱，必须截取x(t) 有限范围，即加窗.
频域卷积后，使原频带受限的频谱扩展开来(有限带宽
拖了尾巴)，这种现象称为泄漏
解决方法：改善窗的形状
1.
混叠效应
如果x(t)的频谱是带限的，X(
f)=0,
|f|
>fm
则由抽样定理，抽样间隔满足
Ts=1/2fm
如果f(t)的频谱不是带限的，则抽样后频谱总要发生混叠
减小抽样间隔Ts，fs增大，可减小混叠，但工作量增加.
解决办法：预滤波，再抽样，一般选择Ts<1/(3~5)fm
2.
泄漏(leakage)
若X(f)为有限带宽频谱，则x(t)为时间无限的。为利用
FFT分析x(t)的频谱，必须截取x(t)
有限范围，即加窗.
频域卷积后，使原频带受限的频谱扩展开来(有限带宽
拖了尾巴)，这种现象称为泄漏
解决方法：改善窗的形状
dft指的是什么？
DFT（离散傅里叶变换）一般指离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。
物理意义
设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示：
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn。
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n。
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N。
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。
离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义。
