中学数学学科网中学数学学科网试卷

艾丽游戏ing 2024-09-14 07:08 1

用韦达定理反求方程

[2] 外国数学史．中学学科网．2008-11-03 [引用日期2014-08-27]

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。[1]

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发展简史

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。[2]由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。[3]

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中文名

韦达定理

外文名

Vieta theorem

提出者

弗朗索瓦·韦达

提出时间

1615年

应用学科

数学代数

快速

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数学推导

定理关系

设一元二次方程中，两根x1、x2有如下关系：

[4]

数学推导

由一元二次方程求根公式知：

韦达定理应用实例

[4]

逆定理

如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以（-1）n

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。[2]

弗朗索瓦韦达

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出个实质性的论性。[3]

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。[1]

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。[7]

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。[4] [8] [9]

参考资料

[1] 忽培明．浅谈一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合应用[J]．课程教育研究，2014(4)：134．

[3] 赵适红．韦达定理的应用初探[J]．太原城市职业技术学院学报，2008(7)：100．

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中学学科网上面很全，肯则注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求设复系数一元n次方程的根为，则成立：根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。[6]有：定有适合你的。